下の図のような2点A，Bがあります。線分ABの垂直二等分線を作図しなさい。

ある線分を垂直に2等分する直線を，垂直二等分線といいます。

ここでは，次の図のような線分ABを垂直に2等分する直線（垂直二等分線）の作図を考えます。

線分ABの垂直二等分線を作図するには，まず，線分の両端の点A，Bをそれぞれ中心とするような等しい半径の円をかきます（上図）。このとき，円の半径は2つの円が交わるような大きさである必要があります。また，2つの円の交点がわかればよいので，円をすべてかく必要はありません。

次に，2つの円の交点（ここではわかりやすいようにP，Qとします）を通る直線を引くと，この直線（直線PQ）が線分ABの垂直二等分線になります。

なぜ直線PQが線分ABの垂直二等分線になるかというと，AP，BP，AQ，BQはそれぞれ等しい半径である円の半径になっているので，

\[ \text{AP} =\text{BP} =\text{AQ} =\text{BQ} \]

となり，四角形AQBPはひし形になります。ひし形には，

• 対角線は直交する（垂直に交わる）
• 対角線はそれぞれの中点で交わる

という性質があるので，ひし形AQBPの対角線である線分ABとPQについて考えると，PQはABを垂直に2等分する，つまり，ABの垂直二等分線になっていると考えることができます。。

このことから，垂直二等分線は次の手順により作図することができます。

1. 線分の両端の点をそれぞれ中心とするような等しい半径の円をかく
2. 2つの円の交点を通る直線を引く

また，線分と垂直二等分線の交点は線分の中点になるので，同じ手順により中点も作図できることになります。

さらに，線分ABの垂直二等分線上の点は，2点A，Bから等しい距離にある点の集まりになります。このことはとても重要なので，しっかり覚えておきましょう。