次の多角形の1つの内角の大きさを求め，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 正八角形

$$\text{1つの内角の大きさ：}{\boxed{\text{ア}}}^{\circ }$$

2. 正十角形

$$\text{1つの内角の大きさ：}{\boxed{\text{イ}}}^{\circ }$$

ここではまず，次の図のような三角形（△ABC）の外角の和（$\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }$）について考えてみたいと思います。

一直線のつくる角は${180}^{\circ }$であるので，

$$\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }{a}^{\prime }=\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }=\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }={180}^{\circ }$$

になります。このことから，

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }{a}^{\prime })+(\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }{b}^{\prime })+(\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }{c}^{\prime })& ={180}^{\circ }\times 3\\ \mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }& ={540}^{\circ }\\ (\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c)+(\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime })& ={540}^{\circ }\cdots \cdots \mathrm{①}\end{array}$$

のような関係式を作ることができます。また，三角形の内角の和は${180}^{\circ }$なので，

$$\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c={180}^{\circ }\cdots \cdots \mathrm{②}$$

です。よって，①，②より，

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c)+(\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime })& ={540}^{\circ }\cdots \cdots \mathrm{①}\\ {180}^{\circ }+(\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime })& ={540}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }& ={540}^{\circ }-{180}^{\circ }\\ & ={360}^{\circ }\end{array}$$

となり，三角形の外角の和（$\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }$）は${360}^{\circ }$であることがわかります。

同じようにして$n$角形の場合も考えてみると，

$$(\text{1つの内角}+\text{1つの外角})\text{の和}={180}^{\circ }\times n$$

となるので，

$$(n\text{角形の内角の和}）+(n\text{角形の外角の和})={180}^{\circ }\times n\cdots \cdots \mathrm{③}$$

と表すことができます。また，$n$角形の内角の和は

$$\begin{array}{rl}(n\text{角形の内角の和})& ={180}^{\circ }\times (n-2)\\ & ={180}^{\circ }\times n-{180}^{\circ }\times 2\\ & ={180}^{\circ }\times n-{360}^{\circ }\cdots \cdots \mathrm{④}\end{array}$$

であるので，③，④より

$$\begin{array}{rl}(n\text{角形の内角の和}）+(n\text{角形の外角の和})& ={180}^{\circ }\times n\cdots \cdots \mathrm{③}\\ ({180}^{\circ }\times n-{360}^{\circ })+(n\text{角形の外角の和})& ={180}^{\circ }\times n\\ (n\text{角形の外角の和})& ={180}^{\circ }\times n-{180}^{\circ }\times n+{360}^{\circ }\\ & ={360}^{\circ }\end{array}$$

となり，多角形の外角の和は，どのような多角形であっても常に${360}^{\circ }$になります。と，原理的にはそうなりますが，ちょっと説明が難しいですよね。このようになることをもう少し感覚的に考えてみましょう。

まず，自分が回転いすにすわっていると思ってください。そして，先ほどの図において，頂点Aの位置にいてそこからPの方向に向いています。そこから，$\mathrm{\angle }{a}^{\prime }$だけ回転して頂点B（Q）の方向に向き，頂点Bに向かっていきましょう。頂点Bに着いたらそこで止まり，$\mathrm{\angle }{b}^{\prime }$だけ回転して頂点C（R）の方に向きます。そして，また頂点Cに向かっていき，頂点Cに着いたら止まり，$\mathrm{\angle }{c}^{\prime }$だけ回転してAに向かうというようにして△ABCを1周します。イメージできましたか？

最初はPを向いていますね。そこから$\mathrm{\angle }{a}^{\prime }$，$\mathrm{\angle }{b}^{\prime }$，$\mathrm{\angle }{c}^{\prime }$だけ回転したっらまたPの方向を向きました。つまり，1回転したわけです。1回転は${360}^{\circ }$ですよね。このことから，

$$\mathrm{\angle }{a}^{\prime }+\mathrm{\angle }{b}^{\prime }+\mathrm{\angle }{c}^{\prime }={360}^{\circ }$$

になります。このことは，三角形に限ったことではなく，どのような多角形でも1周すれば1回転することになるので，外角の和は${360}^{\circ }$になります。