次の計算をし，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. \( \sqrt{3} \times \sqrt{7} =\sqrt{\fbox{ア}} \)
2. \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} =\fbox{イ} \)

\( a, \ b \)を正の数としたとき，\( (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 \)は，

\begin{align}
(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 &=(\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \\
&=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \times \sqrt{a} \times \sqrt{b} \\
&=(\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b}) \\
&=(\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 \\
&=ab
\end{align}

のように計算でき，「\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)」を2乗（平方）すると\( ab \)になります。しかも，\( \sqrt{a} >0, \ \sqrt{b} >0 \)より\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} >0 \)であることから，\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)は，「\( ab \)の平方根のうち正のもの」と考えることができます。

しかし，これとは別に\( ab \)の平方根を考えると，

\[ ab\textbf{の平方根：} \pm \sqrt{ab} \]

となり，そのうち正のものは\( \sqrt{ab} \)となります。このことから，「\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)」と「\( \sqrt{ab} \)」は，「\( ab \)の平方根のうち正のもの」という同じものを表すので，

\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} =\sqrt{a \times b} \]

のように等式で表すことができ，「平方根の積は，根号内の数の積」として計算できることがわかります。