次の計算をし，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. ${\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}$
2. $\sqrt{63}÷\sqrt{3}=\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

文字式の除法では，割る数を逆数にすることで乗法にできました。そのため，根号を含む式の除法においても，乗法と同じように計算ができると考えることができます。

そこで，乗法と同じようにして，$a,b$を正の数としたとき，

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2& =\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\ & =\frac{(\sqrt{a}{)}^2}{(\sqrt{b}{)}^2}\\ & =\frac{a}{b}\end{array}$$

のように計算できます。つまり，${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$を2乗（平方）すると${\displaystyle \frac{a}{b}}$になり，しかも，$\sqrt{a}>0$，$\sqrt{b}>0$，${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}>0}$であることから，${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$は，「${\displaystyle \frac{a}{b}}$の平方根のうち正のもの」と考えることができます。しかし，これとは別に，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の平方根を考えると，

$$\frac{a}{b}\mathbf{\text{の平方根：}}\pm \sqrt{\frac{a}{b}}$$

となり，そのうち正のものは${\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}}$となります。このことから，${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$と${\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}}$は，「${\displaystyle \frac{a}{b}}$の平方根のうち正のもの」という同じものを表すので，

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b})$$

が成り立つことになります。つまり，平方根の乗法と同じように除法でも，

「平方根の商は，根号内の数の商を考えればよい」

ということになります。