次の値を求め，ア～エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. $(\sqrt{5}{)}^2=\boxed{\text{ア}}$
2. $(-\sqrt{5}{)}^2=\boxed{\text{イ}}$
3. $\sqrt{5^2}=\boxed{\text{ウ}}$
4. $\sqrt{(-5{)}^2}=\boxed{\text{エ}}$

根号のついた数と2乗（平方）との間には，次のような関係があります。（ただし，$a$は正の数とします。）

1. $(\sqrt{a}{)}^2=a$
   $\sqrt{a}$は，「$a$の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「${\square }^2=a$」となるような□に当てはまる正の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろん$a$になります。
2. $(-\sqrt{a}{)}^2=a$
   $-\sqrt{a}$は，「$a$の平方根のうち負のもの」を表します。つまり，「${\square }^2=a$」となるような□に当てはまる負の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろん$a$になります。
3. $\sqrt{a^2}=a$
   $\sqrt{a^2}$は，「$a^2$の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「${\square }^2=a^2$」となるような□に当てはまる正の数のことです。「$a^2$」の平方根には，

   $$a\times a=a^2,(-a{)}^2=(-a)\times (-a)=a^2$$

   のように，$a$と$-a$の2つがありますが，そのうちの正のものであるので，

   $$\sqrt{a^2}=a$$

   という関係が成り立ちます。

4. $\sqrt{(-a{)}^2}=a$
   $\sqrt{(-a{)}^2}$は，「$(-a{)}^2$の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「${\square }^2=(-a{)}^2$」となるような□に当てはまる正の数のことです。この式だけを見ると，□に当てはまるのは

   $$\square =-a$$

   のように考えられるので，

   $$\sqrt{(-a{)}^2}=-a$$

   としたくなりますが，$\sqrt{(-a{)}^2}$は正の数，$-a$は負の数であるので等しくはありません。$\sqrt{\square }$は，「□の平方根のうち正のもの」を表すので注意が必要です。$(-a{)}^2$は，

   $$(-a{)}^2=(-a)\times (-a)=a^2$$

   となるので，$\sqrt{(-a{)}^2}$も結局$\sqrt{a^2}$と同じものを表します。そのため，$-a$が「$(-a{)}^2$の平方根のうち負のもの」を，$a$が「$(-a{)}^2$の平方根のうち正のもの」を表すことになるので，

   $$\sqrt{(-a{)}^2}=a$$

   という関係が成り立ちます。