次の値を求め，ア～エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. \( (\sqrt{5})^2 =\fbox{ア} \)
2. \( (-\sqrt{5})^2 =\fbox{イ} \)
3. \( \sqrt{5^2} =\fbox{ウ} \)
4. \( \sqrt{(-5)^2} =\fbox{エ} \)

根号のついた数と2乗（平方）との間には，次のような関係があります。（ただし，\( a \)は正の数とします。）

1. \( (\sqrt{a})^2 =a \)
   \( \sqrt{a} \)は，「\( a \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「\( □^2 =a \)」となるような□に当てはまる正の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろん\( a \)になります。
2. \( (-\sqrt{a})^2 =a \)
   \( -\sqrt{a} \)は，「\( a \)の平方根のうち負のもの」を表します。つまり，「\( □^2 =a \)」となるような□に当てはまる負の数を表しているので，そのような数を2乗すればもちろん\( a \)になります。
3. \( \sqrt{a^2} =a \)
   \( \sqrt{a^2} \)は，「\( a^2 \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「\( □^2 =a^2 \)」となるような□に当てはまる正の数のことです。「\( a^2 \)」の平方根には，

   \[ a \times a =a^2, \ \ \ \ \ (-a)^2 =(-a) \times (-a) =a^2 \]

   のように，\( a \)と\( -a \)の2つがありますが，そのうちの正のものであるので，

   \[ \sqrt{a^2} =a \]

   という関係が成り立ちます。

4. \( \sqrt{(-a)^2} =a \)
   \( \sqrt{(-a)^2} \)は，「\( (-a)^2 \)の平方根のうち正のもの」を表します。つまり，「\( □^2 =(-a)^2 \)」となるような□に当てはまる正の数のことです。この式だけを見ると，□に当てはまるのは

   \[ □=-a \]

   のように考えられるので，

   \[ \sqrt{(-a)^2} =-a \]

   としたくなりますが，\( \sqrt{(-a)^2} \)は正の数，\( -a \)は負の数であるので等しくはありません。\( \sqrt{□} \)は，「□の平方根のうち正のもの」を表すので注意が必要です。\( (-a)^2 \)は，

   \[ (-a)^2 =(-a) \times (-a) =a^2 \]

   となるので，\( \sqrt{(-a)^2} \)も結局\( \sqrt{a^2} \)と同じものを表します。そのため，\( -a \)が「\( (-a)^2 \)の平方根のうち負のもの」を，\( a \)が「\( (-a)^2 \)の平方根のうち正のもの」を表すことになるので，

   \[ \sqrt{(-a)^2} =a \]

   という関係が成り立ちます。