次の角の大きさを求め，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. $\mathrm{\angle }x={\boxed{\text{ア}}}^{\circ }$
2. (黒くぬった角度の和)$={\boxed{\text{イ}}}^{\circ }$

次の図のような図形（ここでは，「ブーメラン型」と呼ぶことにします。）において，$\mathrm{\angle }x$の大きさを考えます。

図のように，BOの延長とACとの交点をDとすると，△ABDにおいて外角の定理を利用することで，

$$\mathrm{\angle }\text{BDC}=\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b\cdots \cdots \mathrm{①}$$

さらに，△OCDにおいても外角の定理を利用すると，①より，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }x& =\mathrm{\angle }\text{BDC}+\mathrm{\angle }c\\ & =\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c\end{array}$$

という関係が導き出されます。

また，次の図のような図形（ここでは，「五芒星 （ごぼうせい） 型」と呼ぶことにします。）において，内角の和（$\mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }d+\mathrm{\angle }e$）について考えます。

図のように，AC，ADとBEとの交点をそれぞれF，Gとします。△FCE，△BDGに着目して，それぞれに外角の定理を利用すると，

$$\mathrm{\angle }\text{AFG}=\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }e,\mathrm{\angle }\text{FGA}=\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }d$$

このとき，△AFGに着目すると，三角形の内角の和は${180}^{\circ }$であるので，

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\text{A}+\mathrm{\angle }\text{AFG}+\mathrm{\angle }\text{FGA}& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }a+(\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }e)+(\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }d)& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }a+\mathrm{\angle }b+\mathrm{\angle }c+\mathrm{\angle }d+\mathrm{\angle }e& ={180}^{\circ }\end{array}$$

となります。

このような内角の大きさの関係は，角度を求める問題でしばしば利用されるので，公式として覚えておくようにしましょう。