9人の生徒を次のように分ける方法は何通りありますか。次のア～エに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 6人と3人の2組に分ける。
   $$\boxed{\text{ア}}\text{（通り）}$$
2. 4人と3人と2人の3組に分ける。
   $$\boxed{\text{イ}}\text{（通り）}$$
3. 3人ずつA，B，Cの3つの組に分ける。
   $$\boxed{\text{ウ}}\text{（通り）}$$
4. 3人ずつ3組に分ける。
   $$\boxed{\text{エ}}\text{（通り）}$$

A，B，Cという3つの文字から2つ選んで並べる（順列）ことを考えると，AB，BA，AC，CA，BC，CBといったように，その並べ方の総数は，

$${}_3{\text{P}}_2=6\text{（通り）}$$

になります。しかし，A，B，Cの3つの文字から2つの文字を選ぶ（組合せ）とき，順序は関係なくなるので，ABとBA，ACとCA，BCとCBは同じものだと考えます。つまり，その選び方は(A，B)，(A，C)，(B，C)という3通りになるので，

$${}_3{\text{C}}_2=3\text{（通り）}$$

と表せることになります。

以上のことから，3つの文字から2つの文字を選ぶ選び方（組合せ）の総数は${}_3{\text{C}}_2$通りあり，そのそれぞれについて$2!$通りの並べ方があるので，3つの文字から2つの文字を選んで並べる（順列）の総数は，積の法則から，

$${}_3{\text{C}}_2\times 2!{=}_3{\text{P}}_2$$

という関係が成り立つことになります。

一般に，$n$個から$r$個取る順列の場合には，

• $n$個から$r$個選ぶ：${}_n{\text{C}}_r$（通り）
• その$r$個を並べる：$r!$（通り）

というように，「選んで，並べる」ことにより順列が求まるので，

$${}_n{\text{C}}_r\times r!{=}_n{\text{P}}_r$$

という関係が成り立ち，この式は次のように変形することができます。

$${}_n{\text{C}}_r=\frac{{}_n{\text{P}}_r}{r!}$$

この式からもわかるように，区別のあるものを選んで並べる場合（順列）の総数から，その並べ方の総数で割り算することで，区別をなくした場合（組合せ）の総数を求めることができます。

組分けにおいても，それぞれの組の区別がつかないような場合，この組合せの考え方を利用することで，組分けの総数を求めていきます。