次の値を求め，ア～ウに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. $_{10}\text{C}_2 =\fbox{ア}$
2. $_{5}\text{C}_3 =\fbox{イ}$
3. $_{3}\text{C}_3 =\fbox{ウ}$

いくつかのものを順序を問題にしないで1組にしたものを組合せといい，$n$個の異なるものから$r$個を取り出して作る組合せを，$n$個のものから$r$個取る組合せといいます。この組合せの総数は，「組合せ」を意味する英単語「combination」の頭文字「C」を用いて，$_n \text{C}_r$で表されます。

ここで，「順列」と「組合せ」の違いを理解するために，A，B，Cという3つの文字から2つ選んで並べる（順列）ことを考えると，AB，BA，AC，CA，BC，CBといったように，その並べ方の総数は，

\[ _3 \text{P}_2 =6 \ \text{（通り）} \]

になります。しかし，A，B，Cの3つの文字から2つの文字を選ぶ（組合せ）とき，順序は関係なくなるので，ABとBA，ACとCA，BCとCBは同じものだと考えます。つまり，その選び方は(A，B)，(A，C)，(B，C)という3通りになるので，

\[ _3 \text{C}_2 =3 \ \text{（通り）} \]

と表せることになります。

以上のことから，3つの文字から2つの文字を選ぶ選び方（組合せ）の総数は$_3 \text{C}_2$通りあり，そのそれぞれについて$2!$通りの並べ方があるので，3つの文字から2つの文字を選んで並べる（順列）の総数は，積の法則から，

\[ _3 \text{C}_2 \times 2! = _3 \text{P}_2 \]

という関係が成り立つことになります。

一般に，$n$個から$r$個取る順列の場合には，

• $n$個から$r$個選ぶ：$_n \text{C}_r$（通り）
• その$r$個を並べる：$r!$（通り）

というように，「選んで，並べる」ことにより順列が求まるので，

\[ _n \text{C}_r \times r! = _n \text{P}_r \]

という関係が成り立ちます。そして，この式は次のように変形することができ，この式を用いて組合せの総数を求めます。

\begin{align}
_n \text{C}_r &=\frac{_n \text{P}_r}{r!} =\frac{n \times (n -1) \times (n -2) \times \cdots \times (n -r +1)}{r \times (r -1) \times (r -2) \times \cdots \times 1} \\
&=\frac{n!}{(n -r)!} \cdot \frac{1}{r!} =\frac{n!}{r!(n -r)!}
\end{align}

また，$n$個から$r$個取る組合せの総数と$n$個から$(n -r)$個取る組合せの総数は一致し，

\begin{align}
_n \text{C}_r &= _n \text{C}_{n -r} \quad (0 \leqq r \leqq n) \\
\text{（例）} \quad _{10} \text{C}_7 &=_{10} \text{C}_{10 -3} \\
&=_{10} \text{C}_3
\end{align}

という関係が成り立ちます。これは，10個から7個選ぶことと，10個から選ばれない3個を選ぶことが同じになるからです。