次の値を求め，ア～ウに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. ${}_{10}{\text{C}}_2=\boxed{\text{ア}}$
2. ${}_5{\text{C}}_3=\boxed{\text{イ}}$
3. ${}_3{\text{C}}_3=\boxed{\text{ウ}}$

いくつかのものを順序を問題にしないで1組にしたものを組合せといい，$n$個の異なるものから$r$個を取り出して作る組合せを，$n$個のものから$r$個取る組合せといいます。この組合せの総数は，「組合せ」を意味する英単語「combination」の頭文字「C」を用いて，${}_n{\text{C}}_r$で表されます。

ここで，「順列」と「組合せ」の違いを理解するために，A，B，Cという3つの文字から2つ選んで並べる（順列）ことを考えると，AB，BA，AC，CA，BC，CBといったように，その並べ方の総数は，

$${}_3{\text{P}}_2=6\text{（通り）}$$

になります。しかし，A，B，Cの3つの文字から2つの文字を選ぶ（組合せ）とき，順序は関係なくなるので，ABとBA，ACとCA，BCとCBは同じものだと考えます。つまり，その選び方は(A，B)，(A，C)，(B，C)という3通りになるので，

$${}_3{\text{C}}_2=3\text{（通り）}$$

と表せることになります。

以上のことから，3つの文字から2つの文字を選ぶ選び方（組合せ）の総数は${}_3{\text{C}}_2$通りあり，そのそれぞれについて$2!$通りの並べ方があるので，3つの文字から2つの文字を選んで並べる（順列）の総数は，積の法則から，

$${}_3{\text{C}}_2\times 2!{=}_3{\text{P}}_2$$

という関係が成り立つことになります。

一般に，$n$個から$r$個取る順列の場合には，

• $n$個から$r$個選ぶ：${}_n{\text{C}}_r$（通り）
• その$r$個を並べる：$r!$（通り）

というように，「選んで，並べる」ことにより順列が求まるので，

$${}_n{\text{C}}_r\times r!{=}_n{\text{P}}_r$$

という関係が成り立ちます。そして，この式は次のように変形することができ，この式を用いて組合せの総数を求めます。

$$\begin{array}{rl}{}_n{\text{C}}_r& =\frac{{}_n{\text{P}}_r}{r!}=\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times (n-r+1)}{r\times (r-1)\times (r-2)\times \cdots \times 1}\\ & =\frac{n!}{(n-r)!}\cdot \frac{1}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\end{array}$$

また，$n$個から$r$個取る組合せの総数と$n$個から$(n-r)$個取る組合せの総数は一致し，

$$\begin{array}{rl}{}_n{\text{C}}_r& {=}_n{\text{C}}_{n-r}(0\leqq r\leqq n)\\ \text{（例）}{}_{10}{\text{C}}_7& {=}_{10}{\text{C}}_{10-3}\\ & {=}_{10}{\text{C}}_3\end{array}$$

という関係が成り立ちます。これは，10個から7個選ぶことと，10個から選ばれない3個を選ぶことが同じになるからです。