下の図において，$\mathrm{\angle }\text{AOB}$の二等分線を作図しなさい。

角を2等分する半直線を角の二等分線といいます。

ここでは，次の図のような$\mathrm{\angle }\text{AOB}$の二等分線を作図します。

$\mathrm{\angle }\text{AOB}$の二等分線を作図するには，まず，点Oを中心とする円をかきます（上図）。このとき，辺OAと辺OBとの交点がわかればよいので，円をすべてかく必要はありません。

次に，辺OAと辺OBとの交点（ここではわかりやすいようにP，Qとします）をそれぞれ中心とするような等しい半径の円をかきます（下図）。このとき，円の半径は，2つの円が交わればどのような長さでもかまいませんが，OPと同じ長さにしておくと作図が楽です。また，2つの円の交点がわかればよいので，円をすべてかく必要はありません。

最後に，点Oから2つの円の交点（ここではわかりやすいようにRとします）を通る半直線を引くと，この半直線（半直線OR）が$\mathrm{\angle }\text{AOB}$の二等分線になります。

なぜ半直線ORが角の二等分線になるかは，△PORと△QORという2つの三角形が合同になるからです。（三角形の合同を学習してから，下の解説を読んでみてください。）

△PORと△QORにおいて，

$$\text{PO}=\text{QO}，\text{PR}=\text{QR}，\text{OR}=\text{OR}$$

と3つの辺が等しいため2つの三角形が合同になります。合同な図形では対応する角の大きさが等しくなるため，

$$\mathrm{\angle }\text{POR}=\mathrm{\angle }\text{QOR}$$

となり，半直線ORは$\mathrm{\angle }\text{AOB}$の二等分線であることがわかります。

このように，角の二等分線は次の手順により作図することができます。

1. 角の頂点を中心とする円をかく
2. その円と角を作る2辺との交点を中心とするような等しい半径の円をかく
3. 角の頂点から，2つの円の交点を通る半直線を引く

また，角の二等分線上の点は，次の図のように2辺から等しい距離にある点の集まりになります。