バニラ，ストロベリー，チョコレートのアイスクリームがあり，どれも100円で売っています。このアイスクリームを500円分買うとき，次の場合で何通りの買い方がありますか。次のア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 含まれない種類があってもよい場合：$\boxed{\text{ア}}$（通り）
2. 全部の種類を含む場合：$\boxed{\text{イ}}$（通り）

$n$個の異なるものから，重複を許して$r$個とる組合せを，$n$個から$r$個とる重複組合せといいます。

3個の異なるものから2個とる組合せの例として，A，B，Cというアルファベット3文字から2文字を選ぶ場合，

$$\text{(A, B)},\text{(A, C)},\text{(B, C)}$$
という${}_3{\text{C}}_2=3$通りの組合せが考えられますが，重複してとることが許される場合では，
$$\text{(A, A)},\text{(A, B)},\text{(A, C)},\text{(B, B)},\text{(B, C)},\text{(C, C)}$$

という6通りの場合が考えられますが，通常の組合せとは異なるため，このままでは計算で求めることができません。そこで，選ばれる数と同じだけの$◯$と，種類を区別するためのしきり（$\text{種類の数}-1$）を用意します。ここの例では，2個を選ぶので2つの「$◯$」と，A，B，Cの3種類を区別するために2つのしきり「|」を用意します。そうすることで，2つのしきりの左にある$◯$はA，2つのしきりの間の$◯$はB，2つのしきりの右にある$◯$はCであると考えます。

$$\begin{array}{cccccc}\text{(A, A)}& \text{(A, B)}& \text{(A, C)}& \text{(B, B)}& \text{(B, C)}& \text{(C, C)}\\ ◯◯||& ◯|◯|& ◯||◯& |◯◯|& |◯|◯& ||◯◯\end{array}$$

このことから，2つの「$◯$」と2つの「|」の並べ方の総数と，3個の異なるものから重複を許して2個とる組合せの総数は同じになるので，

$${}_4{\text{C}}_2=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6\text{（通り）}$$

と組合せ（もしくは，同じものを含む順列の公式）を利用して計算で求めることができます。このように，重複組合せは「$◯$」と「|」を使って考えられることをしっかりとおさえておきましょう。