次の値を求め，ア～カに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. $4!=\boxed{\text{ア}}$
2. $5!=\boxed{\text{イ}}$
3. $6!=\boxed{\text{ウ}}$
4. ${}_5{\text{P}}_3=\boxed{\text{エ}}$
5. ${}_{45}{\text{P}}_2=\boxed{\text{オ}}$
6. ${\displaystyle \frac{95!}{93!}=\boxed{\text{カ}}}$

いくつかのものに順序をつけて1列に並べたものを順列といい，$n$個の異なるものから$r$個取り出して1列に並べるとき，この順列を$n$個のものから$r$個取る順列といいます。この順列の総数は，「順列」を意味する英単語「permutation」の頭文字「P」を用いて，${}_n{\text{P}}_r$と表されます。

$n$個の異なるものから$r$個取り出して1列に並べるとき，次の図のように考えることができます。

このことから積の法則より，

$${}_n{\text{P}}_r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$$

となり，その総数は$n$から順に1ずつ減らした$r$個の積で求めることができます。ここで，$r=n$のとき，つまり，$n$個のものすべてを並べる順列（$n$個の異なるものから$n$個取り出して1列に並べる順列）の総数を考えると，

$${}_n{\text{P}}_n=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$$

となり，これを記号「$!$」を使って，

$${}_n{\text{P}}_n=n!\text{（}n\text{の階乗）}$$

と簡略化して表すこともあります。

この階乗を使って${}_n{\text{P}}_r$を表すことを考えると，

$$\begin{array}{rl}{}_n{\text{P}}_r& =n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)\\ & =n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)\times \frac{(n-r)(n-r-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-r)(n-r-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}\\ & =\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-r)(n-r-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-r)(n-r-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}\\ & =\frac{n!}{(n-r)!}\cdots \cdots \mathrm{①}\end{array}$$

となります。ここで，$r=n$のとき①の式は，

$${}_n{\text{P}}_n=\frac{n!}{0!}$$

となり，左辺は${}_n{\text{P}}_n=n!$です。つまり，①の式は，

$$n!=\frac{n!}{0!}$$

と表されるので，この式を成り立たせるためには，

$$0!=1$$

でなくてはなりません。また，$r=0$のとき①の式は，

$${}_n{\text{P}}_0=\frac{n!}{n!}=1$$

となります。以上のことから，

$$0!=1,{}_n{\text{P}}_0=1$$

と定めます。