等加速度直線運動

【解説】

ある物体が直線上を一定の加速度で運動するとき，これを等加速度直線運動といいます。

ここで， $x$ 軸上を一定の加速度 $a$ ，時刻 $t = 0$ に原点Oを初速度（時刻 $t = 0$ における物体の速度） $v_{0}$ で運動（等加速度直線運動）する物体を考えます。

このときの等加速度直線運動を $v - t$ グラフで表すと，加速度が一定であるので，上の図のような傾きが一定の直線になります。この直線は，傾きが加速度 $a$ ，切片が初速度 $v_{0}$ であるので，時刻 $t$ における速度を $v$ とすると，

$v = a t + v_{0} （ v = v_{0} + a t ） \dots \dots ①$

と表すことができます。加速度は1 [s]あたりの速度の変化量であるので， $t$ [s]間であれば速度の変化量は $a t$ になります。つまり，速度は初速度 $v_{0}$ から $t$ [s]間で $a t$ だけ変化するので，①の関係式になるのだと理解できます。

次に，時刻 $t$ における物体の位置を $x$ とすると，位置 $x$ は $v - t$ グラフと $t$ 軸とで囲まれた部分の面積（図の影を付けた台形の面積）になるので，

$\begin{aligned} x & = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t = \frac{1}{2} t {v_{0} + (v_{0} + a t)} \\ = \frac{1}{2} t (2 v_{0} + a t) \\ = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \dots \dots ② \end{aligned}$

と表すことができます。

また，①の式は $t = \frac{(v - v_{0})}{a}$ と変形できるので，これを②式に代入すると，

$\begin{aligned} x & = v_{0} + \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} t (2 v_{0} + a t) \\ = \frac{1}{2} \frac{v - v_{0}}{a} (2 v_{0} + a \frac{v - v_{0}}{a}) \\ 2 a x & = (v - v_{0}) (v + v_{0}) \\ = v^{2} - {v_{0}}^{2} \dots \dots ③ \end{aligned}$