線分の比と平行線

【解説】

次の図のように，△ABCの2辺AB，AC上に，それぞれ点P，Qがあるとします。

このとき，AP:AB=AQ:ACであるとすると，△APQと△ABCで，仮定より，

AP:AB=AQ:AC……①

また，∠Aは2つの三角形において共通な角であるので，

∠PAQ=∠BAC……②

①，②より，2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，

△APQ∽△ABC

相似な図形の対応する角の大きさは等しいので，

∠APQ=∠ABC

よって，同位角が等しいので，

PQ//BC

という関係が成り立ちます。

また，AP:PB=AQ:QCであるとき，

AP:PB=AQ:QC=m:n

とすると，

AP:AB=m:(m+n)，AQ:AC=m:(m+n)

よって，

AP:AB=AQ:AC

となるので，このときもPQ//BCという関係が成り立つことになります。

以上のことから，△ABCの2辺AB，AC上に，それぞれ点P，Qがあるとき，

という関係が成り立ちます。

2つの直線が平行であることを示すには，「同位角や錯角が等しい」というように，「角」についての条件がほとんどでしたが，ここで学習したように，「線分の比」を利用することでも，2つの直線が平行であることを示すことができます。