v-tグラフ

【解説】

縦軸に速度 $v$ ，横軸に時刻 $t$ をとって表したグラフを $v - t$ グラフといいます。

$v - t$ グラフでは，ある時刻における物体の速度を知ることができるので，上の図のような $v - t$ グラフにおいて，時刻 $t_{1}$ における物体の速度を $v_{1}$ ，時刻 $t_{2}$ における物体の速度を $v_{2}$ とすると，2点A，Bを結ぶ直線の傾きは，

$（直線ABの傾き） = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t} = a$

となり，時間 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ の平均の加速度 $a$ を表すことになります。

ここで， $Δ t$ を限りなく0に近づける（2点A，Bを限りなく近づける）と，2点を結ぶ直線は曲線の接線になり，その接線の傾きは，その時刻における瞬間の加速度を表すことになります。

上の図のように，速度が一定であるような $v - t$ グラフでは，影の付いた部分は長方形になるので，その面積は，

$（影の付いた部分の面積） = v_{0} \times (t_{2} - t_{1}) = v_{0} \times Δ t$

となります。ここで，速度の定義式 $v = \frac{Δ x}{Δ t}$ より，

$Δ x = v Δ t ⟶ （移動距離） = （速さ） \times （時間）$

と表すことができるので，図の影の付いた部分の面積は $Δ t$ の間に進んだ物体の移動距離を表すことになります。

つまり， $v - t$ グラフと横軸で囲まれた部分の面積は，物体の移動距離を表すことになります。（一般的に，〇-△グラフの横軸で囲まれた部分の面積は，横軸と縦軸の要素の積に相当するものになります。）このことは， $v - t$ グラフがどのような曲線でも成り立ちます。さらに， $v - t$ グラフの速度が負になっている部分の面積（t軸よりも下の部分の面積）を負の面積として計算すると，物体の位置を求めることができます。