等加速度直線運動

【解説】

ある物体が直線上を一定の加速度で運動するとき，これを等加速度直線運動といいます。

ここで，$x$軸上を一定の加速度$a$，時刻$t=0$に原点Oを初速度（時刻$t=0$における物体の速度）$v_0$で運動（等加速度直線運動）する物体を考えます。

このときの等加速度直線運動を$v-t$グラフで表すと，加速度が一定であるので，上の図のような傾きが一定の直線になります。この直線は，傾きが加速度$a$，切片が初速度$v_0$ であるので，時刻$t$における速度を$v$とすると，

$$v =at +v_0 \ \ \ \ （v =v_0 +at）\cdots \cdots ①$$

と表すことができます。加速度は1 [s]あたりの速度の変化量であるので，$t$ [s]間であれば速度の変化量は$at$になります。つまり，速度は初速度$v_0$ から$t$ [s]間で$at$だけ変化するので，①の関係式になるのだと理解できます。

次に，時刻$t$における物体の位置を$x$とすると，位置$x$は$v-t$グラフと$t$軸とで囲まれた部分の面積（図の影を付けた台形の面積）になるので，

$$\begin{align}x &=\frac{1}{2}(v_0 +v)t =\frac{1}{2}t\{ v_0 +(v_0 +at)\} \\&=\frac{1}{2}t(2v_0 +at) \\&=v_0 t +\frac{1}{2}at^2 \cdots \cdots ②\end{align}$$

と表すことができます。

また，①の式は$\displaystyle t =\frac{(v -v_0)}{a}$と変形できるので，これを②式に代入すると，

$$\begin{align} x &=v_0 +\frac{1}{2}at^2 =\frac{1}{2}t(2v_0 +at) \\&=\frac{1}{2} \frac{v -v_0}{a}\left( 2v_0 +a\frac{v -v_0}{a} \right) \\ 2ax &=(v -v_0)(v +v_0) \\ &=v^2 -{v_0}^2 \cdots \cdots ③ \end{align}$$

という関係を導き出すことができ，等加速度直線運動では①，②，③の式を利用して，位置，速度，加速度を求めることができます。