次の計算をし，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. \(\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} =\sqrt{\fbox{ア}} \)
2. \( \sqrt{63} \div \sqrt{3} =\sqrt{\fbox{イ}} \)

文字式の除法では，割る数を逆数にすることで乗法にできました。そのため，根号を含む式の除法においても，乗法と同じように計算ができると考えることができます。

そこで，乗法と同じようにして，\( a, \ b \)を正の数としたとき，

\begin{align}
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right)^2 &=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\
&=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} \\
&=\frac{a}{b}
\end{align}

のように計算できます。つまり，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)を2乗（平方）すると\(\displaystyle \frac{a}{b} \)になり，しかも，\( \sqrt{a} >0 \)，\( \sqrt{b} >0 \)，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} >0 \)であることから，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)は，「\(\displaystyle \frac{a}{b} \)の平方根のうち正のもの」と考えることができます。しかし，これとは別に，\(\displaystyle \frac{a}{b} \)の平方根を考えると，

\[ \frac{a}{b}\textbf{の平方根：}\pm \sqrt{\frac{a}{b}} \]

となり，そのうち正のものは\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} \)となります。このことから，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)と\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} \)は，「\(\displaystyle \frac{a}{b} \)の平方根のうち正のもの」という同じものを表すので，

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\sqrt{\frac{a}{b}} \ \ \ \ \ (\sqrt{a} \div \sqrt{b} =\sqrt{a \div b}) \]

が成り立つことになります。つまり，平方根の乗法と同じように除法でも，

「平方根の商は，根号内の数の商を考えればよい」

ということになります。