次の多角形の1つの内角の大きさを求め，ア，イに当てはまる数を半角英数字で入力しなさい。

1. 正八角形

\[ \text{1つの内角の大きさ：}\fbox{ア}^{\circ} \]

2. 正十角形

\[ \text{1つの内角の大きさ：}\fbox{イ}^{\circ} \]

ここではまず，次の図のような三角形（△ABC）の外角の和（$\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’}$）について考えてみたいと思います。

一直線のつくる角は$180^{\circ}$であるので，

\[ \angle{a} +\angle{a’} =\angle{b} +\angle{b’} =\angle{c} +\angle{c’} =180^{\circ} \]

になります。このことから，

\begin{align}
(\angle{a} +\angle{a’}) +(\angle{b} +\angle{b’}) +(\angle{c} +\angle{c’}) &=180^{\circ} \times 3 \\
\angle{a} +\angle{a’} +\angle{b} +\angle{b’} +\angle{c} +\angle{c’} &=540^{\circ} \\
(\angle{a} +\angle{b} +\angle{c}) +(\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’}) &= 540^{\circ} \cdots \cdots ①
\end{align}

のような関係式を作ることができます。また，三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので，

\[ \angle{a} +\angle{b} +\angle{c} =180^{\circ} \cdots \cdots ② \]

です。よって，①，②より，

\begin{align}
(\angle{a} +\angle{b} +\angle{c}) +(\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’}) &= 540^{\circ} \cdots \cdots ① \\
180^{\circ} +(\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’}) &=540^{\circ} \\
\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’} &=540^{\circ} -180^{\circ} \\
&=360^{\circ}
\end{align}

となり，三角形の外角の和（$\angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’}$）は$360^{\circ}$であることがわかります。

同じようにして$n$角形の場合も考えてみると，

\[ (\text{1つの内角} +\text{1つの外角}) \text{の和} =180^{\circ} \times n \]

となるので，

\[ (n\text{角形の内角の和}）+(n\text{角形の外角の和}) =180^{\circ} \times n \cdots \cdots ③ \]

と表すことができます。また，$n$角形の内角の和は

\begin{align}
(n\text{角形の内角の和}) &=180^{\circ} \times (n -2) \\
&=180^{\circ} \times n -180^{\circ} \times 2 \\
&=180^{\circ} \times n -360^{\circ} \cdots \cdots ④
\end{align}

であるので，③，④より

\begin{align}
(n\text{角形の内角の和}）+(n\text{角形の外角の和}) &=180^{\circ} \times n \cdots \cdots ③ \\
(180^{\circ} \times n -360^{\circ}) +(n\text{角形の外角の和}) &=180^{\circ} \times n \\
(n\text{角形の外角の和}) &=180^{\circ} \times n -180^{\circ} \times n +360^{\circ} \\
&=360^{\circ}
\end{align}

となり，多角形の外角の和は，どのような多角形であっても常に$360^{\circ}$になります。と，原理的にはそうなりますが，ちょっと説明が難しいですよね。このようになることをもう少し感覚的に考えてみましょう。

まず，自分が回転いすにすわっていると思ってください。そして，先ほどの図において，頂点Aの位置にいてそこからPの方向に向いています。そこから，$\angle{a’}$だけ回転して頂点B（Q）の方向に向き，頂点Bに向かっていきましょう。頂点Bに着いたらそこで止まり，$\angle{b’}$だけ回転して頂点C（R）の方に向きます。そして，また頂点Cに向かっていき，頂点Cに着いたら止まり，$\angle{c’}$だけ回転してAに向かうというようにして△ABCを1周します。イメージできましたか？

最初はPを向いていますね。そこから$\angle{a’}$，$\angle{b’}$，$\angle{c’}$だけ回転したっらまたPの方向を向きました。つまり，1回転したわけです。1回転は$360^{\circ}$ですよね。このことから，

\[ \angle{a’} +\angle{b’} +\angle{c’} =360^{\circ} \]

になります。このことは，三角形に限ったことではなく，どのような多角形でも1周すれば1回転することになるので，外角の和は$360^{\circ}$になります。