補角をなす三角形の面積比

【解説】

2つの角∠A，∠Bが，∠A+∠B=180°となるとき，∠Aと∠Bは，たがいに補角の関係にあるといいます。

ここで次の図のように，1組の角（∠BCAと∠ECD）がたがいに補角をなす（∠BCA+∠ECD=180°）三角形（△ABCと△ECD）の面積比を考えます。

△EBCと△ECDは，底辺をそれぞれBC，CDであるとすると，2つの三角形の高さは等しいので，面積比は底辺の比に等しくなり，

△EBC:△ECD=BC:CD=a:c（=ad:cd）……①

また，△ABCと△EBCも，底辺をそれぞれCA，CEとすると，2つの三角形の高さは等しいので，面積比は底辺の比に等しくなり，

△ABC:△EBC=CA:CE=b:d（=ab:ad）……②

①，②より，

△ABC:△ECD=ab:cd

となり，1組の角がたがいに補角をなす三角形の面積比は，補角の関係にある角をはさむ2辺の積の比に等しくなります。