【解説】

次の図のような円に内接する四角形APBCを考えます。（直線ATは点Aにおける円の接線）

このとき，円に内接する四角形の性質から，1つの外角の大きさは，それと隣り合う内角の対角の大きさに等しいので，

∠BCA=∠BPQ

となります。

ここで，A，B，Cを固定したままPを円周上に沿ってAに近づけていくと，∠BPQと∠BATは一致します。

このことから，

∠BCA=∠BAT（=∠BPQ）

となることが予想されます。実際に，「円の接線とその接点を通る弦のつくる角は，その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」ということが成り立ち，これを接弦定理といいます。

1. ∠BATが鋭角であるとき
   
   直径ADを引くと，∠BDA，∠BCAはに対する円周角であるので，
   ∠BDA=∠BCA……①
   円の中心と接点を結んだ直線は，接線と垂直に交わるので∠DAT=90°。このことから，
   ∠BAT=∠DAT-∠DAB=90°-∠DAB……②
   また，ADは円Oの直径であるので，半円の弧に対する円周角∠ABD=90°。よって，△DABの内角の和は180°になることから，
   
   ①～③より，∠BCA=∠BAT
2. ∠BATが直角（∠BAT=90°）のとき
   
   ABは円Oの直径であるので，半円の弧に対する円周角は90°になることから，∠BCA=90°。よって，
   ∠BCA=∠BAT
3. ∠BATが鈍角であるとき
   
   図のように，線分ABに対しCと反対側の円周上に点Dをとります。∠BATが鈍角のとき，∠SABは鋭角であるので，1より，
   ∠SAB=∠ADB……④
   一直線の作る角は180°であるので，
   
   また，円に内接する四角形の向かい合う内角の和は180°であるので，
   
   ④～⑥より，
   ∠BCA=∠BAT

【例題】

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