【解説】
三角形は外接円を作図することができるので，必ず円に内接します。そのため，四角形ABCDの3つの頂点A，B，Cを通るような円を作図することはできますが，次の図のように残りの頂点Dも円周上にあるとは限らないので，四角形の場合は必ず円に内接するとはかぎりません。
そこで，四角形が円に内接する条件（共円条件）について考えます。
次の図のような四角形ABCDにおいて，
∠B+∠D=180°……①
であるとします。
また，△ABCの外接円をかき，これを円Oとします。さらに，ACに対してBと反対側の円周上に点Eをとります。
このとき，四角形ABCEは円Oに内接するので，対角の和は180°になり，
∠B+∠E=180°……②
①，②より
∠D=∠E
点D，Eは直線ACに対して同じ側にあるので，円周角の定理の逆より，4点A，C，D，Eは同一円周上にあることになります。このとき，△ACEの外接円は円Oであるので，点Dは円Oの円周上に存在します。つまり，4点A，B，C，Dは円Oの円周上にあることになり，四角形ABCDは円Oに内接することがわかります。
このように，1組の対角の和が180°である四角形は円に内接します。
また，1つの外角がそれと隣り合う内角の対角に等しい場合についても，次の図のように，
∠a=∠c，∠b+∠c=180°
という関係から，結局
∠a+∠b=180°
のようになり，「1組の対角の和が180°である四角形」と同じ条件になるので，円に内接します。
以上のことから，内接四角形の性質の逆が成り立ち，共円条件は次のようになります。
- 1組の対角の和が180°
- 外角が，それと隣り合う内角の対角に等しい